MATLAB求解偏微分方程【PDE和差分法】

时间：2024-04-10 16:40:43 来源：网络cs 作者：欧阳逸栏目：物流仓储阅读：

标签：方程微分

前言

1.用差分法求解

显示差分

其他方程举例：

r是什么

2.PDETOOL

3.pdepe函数

示例：热方程

代码：

前言

在我们处理一些公式时，常常会有偏微分方程出现，所以我今天整理了一下求解偏微分方程的常用方法，希望有所帮助

在1979年复旦大学学者的一篇论文里，谈到了偏微分方程所需要的条件

即在下图中我们求解热传导方程

热以箭头方向传导，我们需要知道初始温度，以及边界温度（上下面的温度）我们以热传导方程

为例，

1.用差分法求解

显示差分

显式差分方法（Explicit Finite Difference Method）是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。它基于将偏微分方程中的导数项转化为有限差分的形式，并使用离散化的网格来逼近连续的空间和时间域。

显式差分方法中，通过使用中心差分来近似空间导数项，并使用向前差分或向后差分来近似时间导数项。其中，向前差分是使用当前时间步的数据来近似时间导数，而向后差分是使用下一个时间步的数据来近似时间导数。

对于扩散方程的求解，显式差分方法可以使用如下的差分方程形式：

$\frac{{u_{i}^{k+1} - u_{i}^{k}}}{{\Delta t}} = \alpha \frac{{u_{i-1}^{k} - 2u_{i}^{k} + u_{i+1}^{k}}}{{\Delta x^2}}$

%20%20

在matlab

%20u(k+1,%20i)%20=u(k,%20i)%20+%20r%20*%20(u(k,%20i-1)%20-%202%20*%20u(k,%20i)%20+%20u(k,%20i+1))

%20默认=1

%20

其中，u(k+1,%20i)%20表示下一个时间步%20t_{k+1}%20和空间位置%20x_i%20处的值，u(k,%20i)%20表示当前时间步%20t_k%20和空间位置%20x_i%20处的值，r%20为时间步长和空间步长的比值。

%20%20

k%20表示时间步数索引，即第%20k%20个时间步。通常，时间步长为%20dt，那么第%20k%20个时间步的时间值为%20t_k%20=%20k%20*%20dt。

%20%20

i%20表示空间步数索引，即第%20i%20个空间步。通常，空间步长为%20dx，那么第%20i%20个空间步的位置值为%20x_i%20=%20i%20*%20dx。

%20%20

显式差分方法的优点是简单易实现，但其稳定性需要满足一个数值稳定性条件，即%20r%20小于一个特定的临界值。当%20r%20超过该临界值时，数值解可能会出现不稳定和振荡现象。

%20

clearclcclose%20all%20dx=0.05;%20%20%20%20%x方向的步长dt=0.001;%20%20%20%t方向的步长r=dt/(dx^2);%20%20%计算r的值x=0:dx:1;%20%20%20%20%20%得到x的序列t=0:dt:0.2;%20%20%20%20%20%得到t的序列M=length(x)-1;N=length(t)-1;u=ones(N+1,M+1);u(1,:)=100;%20%20%20%20%20%20%20%设置初值条件：u(x,0)=100u(2:N+1,1)=0;%20%20%20%20%20%设置边界条件：u(0,t)=0u(2:N+1,M+1)=0;%20%20%20%设置边界条件：u(1,t)=0%根据差分方程，计算u的数值解for%20k=1:N%20%20%20%20for%20i=2:M%20%20%20%20%20%20%20%20u(k+1,i)=(1-2*r)*u(k,i)+r*(u(k,i-1)+u(k,i+1));%20%20%20%20endend[x,t]=meshgrid(x,t);mesh(x,t,u)%20%20%20%20%20%绘制(x,t,u)的三维图xlabel('x')ylabel('t')zlabel('\u(x,t)')title('扩散方程的数值模拟')

%20

%20%20u(x,0)=100 %20 %20 %20 %20 %201
%20%20u(0,t)=0 %20 %20 %20 %20 %20 %20 %20 2
%20%20u(1,t)=0 %20 %20 %20 %20 %20 %20 %20 3
%20

%20

是限制条件，具体解释一下就是，

%20

1.在t=0时，函数u在空间位置%20x%20处的值为%20100 ，即初始温度为100°

%20

2.上下温度均为0，换句话说，u在%20x%20=%200%20处的边界条件被设定为%200，在%20x%20=%201%20处的边界条件被设定为%200

%20

所以，这个意思就是温度在长方形中间部位温度达到最高，随后逐渐消散变为0

%20

其他方程举例：

对于二维泊松方程：

$\nabla^2 u = \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)$

%20

差分方程：

%20

%20%20

对于一维对流-扩散方程：

%20

差分方程：

%20

matlab代码：

%20

u(k+1,%20i)%20=%20u(k,%20i)%20-%20r%20*%20(v%20*%20(u(k,%20i+1)%20-%20u(k,%20i-1))%20/%20(2*dx)%20-%20D%20*%20(u(k,%20i-1)%20-%202*u(k,%20i)%20+%20u(k,%20i+1))%20/%20dx^2)

%20

clc，clear%%20设置参数和网格v%20=%20...;%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%%20对流速度D%20=%20...;%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%%20扩散系数dt%20=%20...;%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%%20时间步长dx%20=%20...;%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%%20空间步长x%20=%20x_min:dx:x_max;%20%%20网格上的位置数组t%20=%200:dt:t_max;%20%20%20%20%20%%20网格上的时间数组%%20计算稳定性条件r%20=%20(v%20*%20dt)%20/%20(2%20*%20dx);%%20初始化数值解u%20=%20zeros(length(t),%20length(x));%20%20%%20数值解的矩阵u(1,%20:)%20=%20...;%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%%20初始条件设置%%20遍历时间步for%20k%20=%201:length(t)-1%20%20%20%20%%20遍历空间步%20%20%20%20for%20i%20=%202:length(x)-1%20%20%20%20%20%20%20%20%%20根据差分方程计算数值解%20%20%20%20%20%20%20%20u(k+1,%20i)%20=%20u(k,%20i)%20-%20r%20*%20(v%20*%20(u(k,%20i+1)%20-%20u(k,%20i-1))%20/%20(2*dx)%20-%20D%20*%20(u(k,%20i-1)%20-%202*u(k,%20i)%20+%20u(k,%20i+1))%20/%20dx^2);%20%20%20%20endend%%20绘制数值解mesh(x,%20t,%20u);xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u(x,t)');title('一维对流-扩散方程的数值解');

%20r是什么%20

在这个问题中，r%20是一个常数，它代表时间步长和空间步长的比值。%20使用该值可以控制数值方法的稳定性和精度。

%20

具体而言，在扩散方程的数值求解中，使用显式差分方法时，我们使用差分近似来代替偏微分方程中的导数项。而差分近似的准确性和稳定性取决于时间步长和空间步长的选择。

%20

常见的稳定性要求是在进行数值模拟时确保%20r%20值小于或等于0.5。这被称为CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件）。

%20

r%20的计算公式如下：

%20r%20=%20dt%20/%20(dx^2)

%20

其中%20dt%20是时间步长（时间间隔），dx%20是空间步长（空间间隔）。

%20

通过计算%20r%20的值，我们可以选择合适的时间步长和空间步长，以控制数值方法的稳定性和精度。

%202.PDETOOL%20

如果你是高手，自然也会使用pdetool这个工具，直接在命令行窗口调用，绘图然后输入条件，最后导出数据，由于过程太麻烦，我就不再说了，大家可以参看这位的文章

%20

MATLAB%20偏微分方程工具箱%20pdetool%20入门教程%20-%20知乎%20(zhihu.com)

%203.pdepe函数%20

这个函数时matlab自带的，也是matlab帮助中心所运用的

%20示例：热方程%20

尝试此示例

%20

抛物型%20PDE%20的一个示例是一维热方程：

%20

此方程描述 0≤x≤L 和 t≥0 的散热情况。目标是求解 u(x,t) 温度问题。温度最初是一个非零常量，因此初始条件是

u(x,0)=T0.

此外，左边界的温度为零，右边界的温度不为零，因此边界条件为

u(0,t)=0,

u(L,t)=1.

要在 MATLAB 中求解该方程，需要对方程、初始条件和边界条件编写代码，然后在调用求解器 pdepe 之前选择合适的解网格。

编写方程代码

在编写方程代码之前，您需要确保它的形式符合 pdepe 求解器的要求：

因此，系数的值如下：

m=0

c=1

f=∂u/∂x

s=0

m 的值作为参数传递给 pdepe，而其他系数编写为方程的一个函数，即

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)c = 1;f = dudx;s = 0;end

在这里默认k=1，我们可以加上k

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)k = 0.663;  % 热传导系数c = 1;f = k * dudx;s = 0;end

p,q值由上述边界条件得出

代码：

function [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)c = 1;f = dudx;s = 0;endfunction u0 = heatic(x)u0 = 0.5;%初始温度endfunction [pl,ql,pr,qr] = heatbc(xl,ul,xr,ur,t)pl = ul;ql = 0;pr = ur - 1;qr = 0;end

选择解网格

使用包含 20 个点的空间网格和包含 30 个点的时间网格。由于解快速达到稳态，t=0 附近的时间点间隔更近以将此行为捕获到输出中。

L = 1;x = linspace(0,L,20);t = [linspace(0,0.05,20), linspace(0.5,5,10)];

求解方程

最后，使用对称性值 m、PDE 方程、初始条件、边界条件以及 x 和 t 的网格来求解方程。

m = 0;sol = pdepe(m,@heatpde,@heatic,@heatbc,x,t);

对解进行绘图

使用 imagesc 可视化解矩阵。

colormap hotimagesc(x,t,sol)colorbarxlabel('Distance x','interpreter','latex')ylabel('Time t','interpreter','latex')title('Heat Equation for $0 \le x \le 1$ and $0 \le t \le 5$','interpreter','latex')

希望有所帮助！

本文链接：https://www.kjpai.cn/news/2024-04-10/156624.html，文章来源：网络cs，作者：欧阳逸，版权归作者所有，如需转载请注明来源和作者，否则将追究法律责任！

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