MATLAB cftool工具箱——曲线拟合

一、简介及打开方式

    cftool工具箱可以将数据点拟合成曲线或曲面并直观显示出图像。能实现多种类型的线性、非线性曲线/面拟合。

    有两种方式打开cftool：(1)在命令行窗口输入"cftool"并回车；(2)在MATLAB的"APP"选项栏中找到"Curve Fitting"程序打开即可。

二、使用方法

1、数据导入

    界面左上部分为数据区域，下拉框中会自动识别MATLAB工作区中的数组，选中需要拟合的X和Y数据即可，若选择X、Y、Z三组数据则可以拟合三维曲面。此外，还可以自定义不同数据的权值，同样将数据在Weights中选中即可。

2、拟合方法

    界面上方可以选择不同的拟合方法，二维图像的拟合方法有：

    (1) Custom Equations：自定义函数拟合。

    (2) Exponential：指数函数拟合，默认形式：f(x) = a*exp(b*x)，在"Number of terms"中可以选择指数项的个数，范围1~2。

    (3) Fourier：傅里叶级数逼近，默认形式：f(x) =  a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)，在"Number of terms"中可以选择公式中正余弦项的个数，范围1~8。

    (4) Gaussian：高斯逼近，默认形式：f(x) =  a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)，在"Number of terms"中可以选择公式中指数项的个数，范围1~8。

    (5) Interpolant：插值。有以下4种类型：Nearest neighbor（最近邻）、Linear（线性插值）、Cubic spline（三次样条插值）、Shape-preserving(PCHIP)（分段三次Hermite插值）。

    其中，样条插值仅需要被插值函数在插值节点处的函数值，不需要知道被插值函数在插值节点处的导数值，数据要求低，光滑性好，可以达到二阶导数连续，但数据变化过大时曲线可能出现波动。Hermite插值是分段三次多项式插值，需要同时知道被插值函数在插值节点处的函数值和导数值，数据要求高，可以达到一阶导数连续，光滑性不如样条插值的好，但其具有保形性，不会出现局部波动。以下这个例子可以很明显的看出二者区别：

 三次样条插值

 分段三次Hermite插值

    (6) Linear Fitting：线性组合拟合。默认形式：f(x) = a*(sin(x-pi)) + b*((x-10)^2) + c。本质是将各种不同类型的函数进行线性组合。在"Edit"中可以自定义各线性项的权重和形式。

    (7) Polynomial：多项式函数拟合。默认形式：f(x) = p1*x + p2，即最常见的线性最小二乘拟合。在"Degree"中可以选择多项式的最高次数，范围1~9。

    (8) Power：幂函数拟合。默认形式：f(x) = a*x^b。在"Number of terms"中可以选择是否加常数项，若选择2，则公式变为：f(x) = a*x^b+c。

    (9) Rational：有理数逼近。默认形式：f(x) = (p1) / (x + q1)。公式的分子和分母均为多项式，在"Numerator degree"中可以选择分子多项式最高次数，范围0~5。在"Denomenator degree"中可以选择分母多项式最高次数，范围1~5，且x最高次项的系数只能为1。

    (10) Smoothing Spline：平滑样条。这种方法的具体原理较为复杂，MATLAB定义了一个代价函数RSS来衡量拟合误差，拟合时会使此RSS值尽可能小。函数形式如下。前半部分用来衡量拟合曲线与原数据的近似程度，后半部分用来衡量曲线的光滑程度。