教你手算GPS卫星多普勒频偏

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GPS卫星在太空的运动速度是多少？ 这个高速运动带来的多普勒频移具体是多少？ 一般接收机内的搜索卫星信号的频率范围是多少？GSS7000卫星导航模拟器输出的信号频率是多少？ 以上的这些问题都会在本期揭晓答案。

上次的推文我们介绍了多普勒效应的原理，反响不错。这次咱们趁热打铁来点硬核的计算，利用数学公式推导计算一下卫星的速度和多普勒频移。来源思博伦技术公号

如上图所示我们先做个示意图方便理解
R是地球的半径， 我们这里取赤道半径约为6400km
r是卫星距离地面的高度
P点为放置接收机观测的位置
V为卫星圆形轨道运动的切向速度
V// 即为卫星径向方向速度，即相对接收机方向运动速度。 图中这个点比较特殊，它正好是径向速度最大的点， 也是多普勒效应最大的点

为了方便计算我们取GPS 卫星的运行轨道高度r=20000km，运行周期是12小时。则卫星运行的速度

即卫星的运动速度约为每小时13800千米， 进一步换算成每秒3840米。
有了卫星的速度我们还需要将该速度换算到接收机水平方向的相对速度V//，才能求出多普勒频偏。参照第一个图内的Theta角度我们利用简单的平面几何关系进行推导，该位置位置就是两者卫星和接收机相向运动最大的时候。 当卫星在头顶正中时，两者相对运动却最小，多普勒几乎为零。

很多同学针对多普勒最大点存在不理解，所以多做解释。 之所以多普勒效应最大的位置是卫星和观测者水平平齐的位置，也就是该卫星刚从地平线上升起来的位置。我们可以简单的将卫星和接收机观察点P 两点画一条直线，只有运动方向在这条直线上才有多普勒效应。 很明显的虽然当卫星处于正头顶时，水平方向速度最快，但是径向速度却为零，也就是这条连线方向的速度为零。 因此径向速度最大的点就是卫星刚露头的位置。

这里就算出卫星相对接收机方向的速度为929米每秒。
有了这些数据我们就可以直接带多普勒频移公式Doppler Shift，对于GPS L1 载波信号频率1575.42MHz信号来说，929m/s的相对运动速度引起的最大多普勒频偏是4.88KHz

再考虑到这个相对运动有接近和远离之分，经过修正后一个静止的接收机观测者来说多普勒频偏的范围是＋4.88KHz ~ -4.88KHz

图来源：onosokki.co.jp 利用多普勒效应可以用于测速

前面这些计算都是考虑接收机静止不动或者低速运动的情况，因此我们常规地将接收机内搜索频率范围（Doppler frequency）设置为±5KHz足以覆盖大多数情况。

图来源：Kaveh Mollaiyan -Acquisition of Weak Signals in Multi-Constellation Frequency Domain Receivers（2013）

有些好奇心强的同学会问卫星导航模拟器GSS7000在运行时的GPS L1 信号的具体频率是多少？

这个问题的答案即简单又复杂。 简单是因为GPS L1的标称载波频率由星载原子钟10.23MHz经过154倍频后获得的1575.42MHz。

复杂是源于模拟器和真实的卫星一样，都是在以约3840m/s的速度在高速运动。 每颗卫星的运动方向和相对速度都有所不同，甚至仿真的载具也在运动。那就意味着GSS7000输出的频率并不是固定的值。注意：地球同步轨道GEO卫星因相对与地面静止除外。

在PosApp 软件 Received signals 界面有详细列出仿真每颗卫星的高度角Elev、方位角Azim、伪距Pseudorange，doppler shift等实时动态数据。
正是因为模拟器忠实的还原外场实际卫星的运动，所以有客户发现GSS7000仿真的卫星号会存在变化。
以下图为例，这是卫星导航模拟器运行2个小时左右的界面。 从中可以看到卫星拖着的长尾巴就是它这段时间的运行轨迹，在Sky plot中SVID 31和21轨迹较短即说明它们刚从地平线上升起进入视场。 既然有新进入视场的卫星，那就必然有离开的卫星，所以有用户注意到场景刚开始时观测到的某卫星，随着时间的运行不可见了-> 它运动到地平线以下去了。 这就是和真实世界一样卫星运动效果以充分测试DUT的GNSS性能。

关键词：多普勒，卫星速度，轨道高度，频率，Doppler ，PR，PosApp，GPS，shift，GSS7000

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