一级倒立摆控制 —— PID 控制器设计及 MATLAB 实现

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最优控制介绍
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一级倒立摆控制 —— ROS2 仿真
一级倒立摆控制 —— LQR 控制器 GAZEBO 仿真

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系列文章目录前言一、系统结构二、PID 控制三、小车的位置会发生什么变化？

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前言

在本页中，我们将为倒立摆系统设计一个 PID 控制器。在设计过程中，我们将假设一个单输入、单输出设备，其传递函数如下。除此以外，我们将尝试在不考虑小车位置的情况下控制摆的角度。

摆杆传递函数方程：
P p e n d ( s ) = Φ ( s ) U ( s ) = m l q s 2 s 4 + b ( I + m l 2 ) q s 3 − ( M + m ) m g l q s 2 − b m g l q s P_{pend}(s)=\dfrac{\Phi(s)}{U(s)}=\dfrac{\dfrac{ml}{q}s^2}{s^4+\dfrac{b(I+ml^2)}{q}s^3-\dfrac{(M+m)mgl}{q}s^2-\dfrac{bmgl}{q}s} Ppend​(s)=U(s)Φ(s)​=s4+qb(I+ml2)​s3−q(M+m)mgl​s2−qbmgl​sqml​s2​
式中， q = [ ( M + m ) ( I + m l 2 ) − ( m l ) 2 ] q=[(M+m)(I+ml^2)-(ml)^2] q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]

更具体地说，当小车受到 1-Nsec 的冲力时，控制器将试图保持摆锤垂直向上。在这些条件下，设计标准是：

稳定时间小于 5 秒摆锤偏离垂直方向的幅度不应超过 0.05 弧度

有关原始问题设置和上述传递函数的推导，请查阅倒立摆： 系统建模页面。

一、系统结构

这个问题的控制器结构与您可能习惯的标准控制问题有些不同。由于我们试图控制摆的位置，而摆的位置在受到初始扰动后应返回垂直方向，因此我们跟踪的参考信号应为零。这种情况通常被称为调节器问题。施加在小车上的外力可视为脉冲干扰。该问题的示意图如下。

如果我们先将原理图重新排列如下，您可能会发现分析和设计该系统更加容易。

因此，闭环系统从力 F F F 输入到摆角 ϕ \phi ϕ 输出的传递函数 T ( s ) T(s) T(s) 确定如下。

T ( s ) = Φ ( s ) U ( s ) = P p e n d ( s ) 1 + C ( s ) P p e n d ( s ) \begin{equation} T(s)=\dfrac{\Phi(s)}{U(s)}=\dfrac{P_{pend}(s)}{1+C(s)P_{pend}(s)} \end{equation} T(s)=U(s)Φ(s)​=1+C(s)Ppend​(s)Ppend​(s)​​​

在开始设计 PID 控制器之前，我们首先需要在 MATLAB 中定义倒立摆传递函数模型。创建一个新的 .m 文件并键入以下命令来创建传递函数模型（有关获取这些命令的详细信息，请参阅主问题）。

M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;s = tf('s');P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);

接下来，我们将定义一个 PID 控制器。

二、PID 控制

在 MATLAB 中可以通过将以下代码复制到 .m 文件末尾来模拟闭环传递函数（无论您使用的是传递函数形式还是模型的状态空间表示形式）。具体来说，我们使用 MATLAB 中的 pid 对象定义控制器。然后，我们使用反馈命令生成闭环传递函数 T ( s ) T(s) T(s)，如上图所示，其中干扰力 F F F 为输入，摆锤角度与垂直方向的偏差 ϕ \phi ϕ 为输出。

t=0:0.01:10;impulse(T,t)title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});

这个响应仍然不稳定。让我们开始通过增加比例增益来修改响应。增加 K p K_p Kp​ 变量，看看它对响应有什么影响。如果将 .m 文件修改为 K p K_p Kp​ = 100，并在命令窗口中运行，将得到下图所示的响应图。

Kp = 100;Ki = 1;Kd = 1;C = pid(Kp,Ki,Kd);T = feedback(P_pend,C);t=0:0.01:10;impulse(T,t)axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});

在绘制的曲线图上单击右键，从菜单中选择 “特征”，即可确定响应的重要特征。具体来说，响应的稳定时间被确定为 1.64 秒，小于 5 秒的要求。由于稳态误差以足够快的速度趋近于零，因此不需要额外的积分动作。您可以将积分增益常数 K i K_i Ki​ 设为零，以亲自验证是否需要进行积分控制。不过，峰值响应大于 0.05 弧度的要求。回想一下，通常可以通过增加导数控制量来减少过冲。经过反复试验，我们发现导数增益 K d K_d Kd​ = 20 可以提供令人满意的响应。对 m 文件作如下修改并重新运行后，将得到下图所示的响应图

Kp = 100;Ki = 1;Kd = 20;C = pid(Kp,Ki,Kd);T = feedback(P_pend,C);t=0:0.01:10;impulse(T,t)axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

可以看到，过冲已经减小，摆锤偏离垂直方向的幅度不会超过 0.05 弧度。由于所有给定的设计要求都已满足，因此不需要进一步迭代。

三、小车的位置会发生什么变化？

本页开头给出了倒立摆系统的方框图。该图并不完整。代表小车位置 x x x 响应的图块没有包括在内，因为该变量没有被控制。但有趣的是，当摆锤角度 ϕ \phi ϕ 的控制器就位时，小车的位置会发生什么变化。要了解这一点，我们需要考虑整个系统框图，如下图所示。

重新排列后，我们得到以下框图。

在上图中，块 C ( s ) C(s) C(s) 是为保持摆锤垂直而设计的控制器。因此，从施加到小车的输入力到小车位置输出的闭环传递函数 T 2 ( s ) T_2(s) T2​(s) 如下所示。

T ( s ) = X ( s ) F ( s ) = P c a r t ( s ) 1 + C ( s ) P p e n d ( s ) \begin{equation} T(s)=\dfrac{X(s)}{F(s)}=\dfrac{P_{cart}(s)}{1+C(s)P_{pend}(s)} \end{equation} T(s)=F(s)X(s)​=1+C(s)Ppend​(s)Pcart​(s)​​​

请参考倒立摆： 系统建模页面， P c a r t ( s ) P_{cart}(s) Pcart​(s) 的传递函数定义如下。

P c a r t ( s ) = Φ ( s ) U ( s ) = ( I + m l 2 ) s 2 − m g l q s 4 + b ( I + m l 2 ) q s 3 − ( M + m ) m g l q s 2 − b m g l q s \begin{equation} P_{cart}(s)=\dfrac{\Phi(s)}{U(s)}=\dfrac{\dfrac{(I+ml^2)s^2-mgl}{q}}{s^4+\dfrac{b(I+ml^2)}{q}s^3-\dfrac{(M+m)mgl}{q}s^2-\dfrac{bmgl}{q}s} \end{equation} Pcart​(s)=U(s)Φ(s)​=s4+qb(I+ml2)​s3−q(M+m)mgl​s2−qbmgl​sq(I+ml2)s2−mgl​​​​

式中， q = [ ( M + m ) ( I + m l 2 ) − ( m l ) 2 ] q=[(M+m)(I+ml^2)-(ml)^2] q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]

在您的 m 文件中添加以下命令（假设 P p e n d ( s ) P_{pend}(s) Ppend​(s) 和 C ( s ) C(s) C(s) 仍已定义），将生成小车位置对我们一直在考虑的相同脉冲干扰的响应。

P_cart = (((I+m*l^2)/q)*s^2 - (m*g*l/q))/(s^4 + (b*(I + m*l^2))*s^3/q - ((M + m)*m*g*l)*s^2/q - b*m*g*l*s/q);T2 = feedback(1,P_pend*C)*P_cart;t = 0:0.01:5;impulse(T2, t);title({'Response of Cart Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

可以看到，小车以近似恒定的速度向负方向移动。因此，尽管 PID 控制器能稳定摆锤的角度，但在实际物理系统中实施这种设计并不可行。

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